MATRIZ INVERSA.

 *CONOCIMIENTO PERSONAL.

El día de hoy 14 de Marzo en la clase de métodos numéricos, conocimos un nuevo método llamado matriz inversa, el metodo es algo laborioso, no es algo difícil en sí, pero si te pone mucho a pensar, si me gusto porque esta interesante, pero no voy a negar que se me hizo complicado jajaja. 

La matriz inversa consiste en que volvemos a acomodar la matriz tal y como lo hacíamos con el método de la regla de Cramer, solo que en este método en lugar de ir sumando y restando, ahora tenemos que ir modificando los renglones para que solo la diagonal de en medio nos quede con puros 1 y los demas queden en 0, solo que hay dos especificaciones simples para realizar el reajuste en los renglones, no se pueden multiplicar los renglones por 0 y tampoco se pueden dividir los renglones entre 0.

Realizamos dos ejemplos que anteriormente ya habíamos resuelto con la regla de Cramer, pero ahora con este método, y fue mucho más extensa su resolución, la manera en la que el maestro nos puso a pensar para resolver el segundo ejercicio estuvo buena, nos dios risa y nos puso a pensar demasiado y estuvo bien porque entre todos, intentamos dar las mejores ideas, cuando el maestro miraba que se nos complicaba nos ayudaba, pero aun así, todos concluimos que batallamos y que nos gusta más el método de la regla de Cramer.

*CONOCIMIENTO CONSULTADO.

Una matriz es una tabla de números organizada en filas y columnas, ampliamente utilizada en diversas áreas, como ingeniería, física, economía y computación. Las matrices son herramientas matemáticas poderosas que ayudan a resolver problemas complejos, como sistemas de ecuaciones lineales y transformaciones geométricas. 

Una matriz inversa es una matriz que, cuando se multiplica por la matriz original, resulta en la matriz identidad. La matriz identidad es una matriz cuadrada con 1 en la diagonal principal y 0 en todas las demás posiciones. La existencia de una matriz inversa está garantizada solo para matrices cuadradas (mismo número de filas y columnas) cuyo determinante es diferente de cero. 

Si una matriz A tiene una inversa, esta generalmente se denota por A⁻¹. La multiplicación de una matriz por su inversa sigue la propiedad: A * A⁻¹ = I, donde I es la matriz identidad. La matriz inversa, cuando se multiplica por la matriz original, resulta en la matriz identidad. Solo las matrices cuadradas con determinante diferente de cero poseen inversa.

Las matrices inversas tienen varias propiedades útiles:

•Inverso del inverso : El inverso de A−1 A−1 es A Así mismo. (A−1)−1=A( A − 1) −1=A

•Inverso de un producto : El inverso de un producto de dos matrices invertibles es el producto de sus inversas en orden inverso . (AB)−1=B−1A−1( A B ) − 1=B − 1 A − 1

  Piensa en ponerte los calcetines (AA) luego zapatos (BB). Para revertir el proceso ((AB)−1( A B ) − 1), primero debes quitarte los zapatos (B−1B − 1) y luego tus calcetines (A−1A −1).

•Inversa de una transpuesta : La inversa de la transpuesta de una matriz es la transpuesta de su inversa. (AT)−1=(A−1)T( A T ) − 1 =( A − 1 ) T

 Estas propiedades se utilizan con frecuencia al manipular ecuaciones matriciales en derivaciones de aprendizaje automático.

Ejemplo:

La matriz inversa se denota por A⁻¹.

Calcular la matriz inversa A-1 a partir de una matriz invertible A puede realizarse por estos tres procedimientos:

•Calcular la inversa por la propia definición.

•Método de Gauss-Jordan.

•A partir de la matriz adjunta y el determinante.

Antes de obtener la inversa por uno de estos procedimientos, hay que asegurarse que la matriz A es invertible comprobando que su determinante no sea nulo.

El método de Gauss–Jordan.

Sirve para hallar la matriz inversa y, también, para resolver sistemas de ecuaciones lineales.Consiste en construir una matriz aumentada, colocando a la derecha de la matriz original A una matriz identidad del mismo orden.

A continuación, se hacen las transformaciones elementales sucesivas con el fin de que la matriz identidad quede ahora a la izquierda. La de la derecha obtenida será la matriz inversa.

Matriz adjunta.

Otro método para obtener la matriz inversa A-1 es mediante la matriz adjunta A-1, que es la matriz traspuesta de la matriz de adjuntos o matriz de cofactores.Hay autores que a la matriz de adjuntos le llaman matriz adjunta.

Este método, que requiere el cálculo previo de la matriz adjunta no es eficaz para matrices de dimensiones grandes.

*REFERENCIAS.

https://www.universoformulas.com/matematicas/algebra/matriz-inversa/

https://teachy.ai/es/resumenes/educacion-media/media-superior-3-grado/matematicas-a-espanol/matriz-inversa-definicion-propiedades-y-calculo-23870

https://basicas.fiunam.mx/dcb_sii/public/files/productos_cerafin/IDR_293_Apuntes_Matrices_Completo_v01.pdf

https://es.scribd.com/doc/114981418/MATRIZ-INVERSA

https://apxml.com/courses/linear-algebra-essentials-ml/chapter-3-solving-linear-systems-matrix-inverses/matrix-inverse-definition